三元一次方程应用题

一、简单的三元一次方程组的解法思路及步骤.
 

思路:解三元一次方程组的基本思想仍是消元,其基本方法是代入法和加减法.

步骤:
①利用代入法或加减法,消去一个未知数,得出一个二元一次方程组;
②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;
③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解.
灵活运用加减消元法,代入消元法解简单的三元一次方程组.

三元一次方程组的解法视频讲解：
 

二、三元一次方程应用题例题讲解：

例1：购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔一支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需多少元？
 

解：设铅笔、作业本、圆珠笔的单价分别为x、y、z
则有7x+3y+z=3（①）    10x+4y+z=4（②），求11x+5y+2z（⑥）
①+②得17x+7y+2z=7（③）
②-①得3x+y=1（④） 将④*2得6x+2y=2（⑤）
③-⑤得11x+5y+2z=5，所以此题的答案是5

分析：其实这题要完全解出x、y、z的值是不可能的，因为三元一次方程肯定需要三个方程才能完全解出，此题只有2个条件，所以只能列出2个方程。所以此题的思路就是需要整体考虑了。首先根据已知条件列出方程（即①和②）和所求的式子（即⑥）。然后你就根据已知的2个方程，对其进行变形就能得出所求的式子了。这个变形的方法很多，无法猎取，但无非就是将2个已知方程相加减，或者乘以某个系数后再进行加减，这个需要你对数字的敏感性了，自己多做做吧。

例2：甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡，一段平路，一段下坡。上坡每小时行3km，平路每小时行4km，下坡每小时行5km，那么，从甲地到乙地要51分钟，乙地到甲地要53.4分。求甲地到乙地的上坡、平路、下坡的路程各是多少?
 

设从甲地到乙地上坡为Xkm，平路为Ykm，下坡为Zkm，则
X+Y+Z=3.3 ①
X/3 + Y/4 + Z/5 = 51/60 ②
Z/3 + Y/4 + X/5 = 53.4/60 ③
由②式得到20X+15Y+12Z=51 ④
由③式得到20Z+15Y+12X=53.4 ⑤
由⑤式-④式得到Z-X=0.3,那么Z=X+0.3 ⑥
将⑥式带入①式，得到X+Y+X+0.3=3.3,那么Y=3-2X ⑦
将⑥⑦式带入④式，得到20X+15(3-2X)+12(X+0.3)=51,
那么，X=1.2,所以 Y=0.6,Z=1.5 所以，
从甲地到乙地，上坡1.2千米，平路0.6千米，下坡1.5千米。

三、三元一次方程应用题求救步骤：

第一步：根据题意进行假设，假设三个因素。
第二步：根据题意找出三个因素之间的等式关系，最少三个。
第三步：根据三元一次方程组的解法，求解出答案。

四、三元一次方程应用题练习题：

1、某足球联赛一个赛季共进行26场比赛（即每队均赛26场），其中胜一场得三分，平一场得一分，负一场得0分。某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分。这个队在这个赛季中胜，平，负各多少场？
 

2、学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2：3，三种球共41个，求三种球各有多少
 

3、一个水池装有甲、乙进水管和丙出水管，若打开甲管4小时，乙管2小时和丙管2小时，则水池中余水5吨；若打开甲管2小时，乙管3小时，丙管1小时，则池中余水1吨，求打开甲管22小时，乙管5小时，丙管11小时，池中余水多少吨？
 

4、小红买了面值为50分和230分的邮票共8枚，共用去9元4角问50分和230分的邮票各买几枚？
 

5、运往某地的两批货物，第一批为440吨，用8节火车车厢和10辆汽车正好运完；第二批货物520吨，多用了2节火车车厢而少用了5辆汽车，正好运完。求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？
 

6、1、有一批零件共420个，若甲先做2天，乙加入，合作2天可以完成；若乙先做2天，甲加入，合作3天可以完成，求二人每天平均做多少个？