初一下数学知识点总结

1初一数学下册知识点总结

本章重点：一元一次不等式的解法。

本章难点：了解不等式的解集和不等式组的解集的确定，正确运用。

不等式基本性质3。

本章关键：彻底弄清不等式和等式的基本性质的区别。

（1）不等式概念：用不等号（“≠”、“<”、“>”）表示的不等关系的式子叫做不等式。

（2）不等式的基本性质，它是解不等式的理论依据。

（3）分清不等式的解集和解不等式是两个完全不同的概念。

（4）不等式的解一般有无限多个数值，把它们表示在数轴上。

（5）一元一次不等式的概念、解法是本章的重点和核心。

（6）一元一次不等式的解集，在数轴上表示一元一次不等式的解集。

（7）由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组．一元一次不等式组可以由几个（同未知数的）一元一次不等式组成。

（8）利用数轴确定一元一次不等式组的解集。

1、二元一次方程，二元一次方程组以及它的解，明确二元一次方程组的解是一对未知数的值，会检验一对数值是不是某一个二元一次方程组的解。

2、一次方程组的两种基本解法，能灵活运用代入法，加减法解二元一次方程组及简单的三元一次方程组。

3、根据给出的应用问题，列出相应的二元一次方程组或三元一次方程组，从而求出问题的解，并能根据问题的实际意义，检查结果是否合理。

本章的重点是：二元一次方程组的解法——代入法，加减法以及列一次方程组解简单的应用问题。

本章的难点是：

1、会用适当的消元方法解二元一次方程组及简单的三元一次方程组；

2、正确地找出应用题中的相等关系，列出一次方程组。

本章重点是：整式的乘除运算，特别是对幂的运算及乘法公式的应用要达到熟练程度。

本章难点是：对乘法公式结构特征和公式中字母意义的理解及乘法公式的灵活应用。

1、幂的运算性质，正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行有关计算。

2、单项式乘以（或除以）单项式，多项式乘以（或除以）单项式，以及多项式乘以多项式的法则，熟练地运用它们进行计算。

3、乘法公式的推导过程，能灵活运用乘法公式进行计算。

4、熟练地运用运算律、运算法则进行运算。

5、体会用字母表示数和用字母表示式子的意义。通过式的变形，深入理解转化的思想方法。

1、认识事物的几种方法：观察与实验归纳与类比猜想与证明生活中的说理数学中的说理；

2、定义、命题、公理、定理；

3、简单几何图形中的推理；

4、余角、补交、对顶角；

5、平行线的判定；

判定：一个公理两个定理。

公理：两直线被第三条直线所截，如果同位角相等（数量关系）两直线平行（位置关系）。

定理：内错角相等（数量关系）两直线平行（位置关系）。

定理：同旁内角互补（数量关系）两直线平行（位置关系）。

平行线的性质：

两直线平行，同位角相等。

两直线平行，内错角相等。

两直线平行，同旁内角互补。

由图形的“位置关系”确定“数量关系”。

重点：因式分解的方法。

难点：分析多项式的特点，选择适合的分解方法。

1、因式分解的概念；

2、因式分解的方法：提取公因式法、公式法、分组分解法（十字相乘法）

3、运用因式分解解决一些实际问题。（包括图形习题）

重点是：用统计知识解决现实生活中的实际问题。

难点是：用统计知识解决实际问题。

1、统计初步的基本知识，平均数、中位数、众数等的计算。

2、了解数据的收集与整理、绘画三种统计图。

3、应用统计知识解决实际问题能解决与统计相关的综合问题。

2七年级数学下册知识点总结

第一章整式的运算

一、整式

1、单项式

①由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。

②单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号，如果一个单项式只是字母的积，并非没有系数。

③一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

2、多项式

①几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项。一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

②单项式和多项式都有次数，含有字母的单项式有系数，多项式没有系数。多项式的每一项都是单项式，一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数。多项式中每一项都有它们各自的次数，但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数，一个多项式的次数只有一个，它是所含各项的次数中最高的那一项次数。

3、整式单项式和多项式统称为整式。

二、整式的加减

1、整式的加减实质上就是去括号后，合并同类项，运算结果是一个多项式或是单项式。

2、括号前面是“－”号，去括号时，括号内各项要变号，一个数与多项式相乘时，这个数与括号内各项都要相乘。

三、同底数幂的乘法

※同底数幂的乘法法则：(m，n都是正数)是幂的运算中最基本的法则，在应用法则运算时，要注意以下几点：

①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；

②指数是1时，不要误以为没有指数；

③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；

④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为（其中m、n、p均为正数）；

⑤公式还可以逆用：（m、n均为正整数）

四、幂的乘方与积的乘方

1、幂的乘方法则：(m，n都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。

2、底数有负号时，运算时要注意，底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，

如将（-a）3化成-a3。

4、底数有时形式不同，但可以化成相同。

5、要注意区别（ab）n与（a+b）n意义是不同的，不要误以为（a+b）n=an+bn（a、b均不为零）。

6、积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（n为正整数）。

7、幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

五、同底数幂的除法

1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即(a≠0，m、n都是正数，且m>n)。

2、在应用时需要注意以下几点：

①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数，所以法则中a≠0。

②任何不等于0的数的0次幂等于1，即，如，(-2.50=1)，则00无意义。

③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数)，等于这个数的p的次幂的倒数，即(a≠0，p是正整数)，而0-1，0-3都是无意义的；当a>0时，a-p的值一定是正的；

3人教版数学七年级下册知识点总结

一、概念知识

1、单项式：数字与字母的积，叫做单项式。

2、多项式：几个单项式的和，叫做多项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

4、单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数。

5、多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

6、余角：两个角的和为90度，这两个角叫做互为余角。

7、补角：两个角的和为180度，这两个角叫做互为补角。

8、对顶角：两个角有一个公共顶点，其中一个角的两边是另一个角两边的反向延长线。这两个角就是对顶角。

9、同位角：在“三线八角”中，位置相同的角，就是同位角。

10、内错角：在“三线八角”中，夹在两直线内，位置错开的角，就是内错角。

11、同旁内角：在“三线八角”中，夹在两直线内，在第三条直线同旁的角，就是同旁内角。

12、有效数字：一个近似数，从左边第一个不为0的数开始，到精确的那位止，所有的数字都是有效数字。

13、概率：一个事件发生的可能性的大小，就是这个事件发生的概率。

14、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

15、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

16、三角形的中线：在三角形中连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。

17、三角形的高线：从一个三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

18、全等图形：两个能够重合的图形称为全等图形。

19、变量：变化的数量，就叫变量。

20、自变量：在变化的量中主动发生变化的，变叫自变量。

21、因变量：随着自变量变化而被动发生变化的量，叫因变量。

22、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。

23、对称轴：轴对称图形中对折的直线叫做对称轴。

24、垂直平分线：线段是轴对称图形，它的一条对称轴垂直于这条线段并且平分它，这样的直线叫做这条线段的垂直平分线。（简称中垂线）

二、计算能力

（A）整式的计算。

1、整式的加减

去括号，合并同类项！

2、幂运算（七个公式）

①同底数幂相乘：底数不变，指数相加。

②幂的乘方：底数不变，指数相乘。

③积的乘方：等于每个因数乘方的积。

④同指数幂相乘：指数不变，底数相乘。

420XX年七年级下册数学知识点总结

相交线与平行线

一、知识网络结构

二、知识要点

1、在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行，垂直是相交的一种特殊情况。

2、在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。如果两条直线只有一个公共点，称这两条直线相交；如果两条直线没有公共点，称这两条直线平行。

3、两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是

邻补角。邻补角的性质：邻补角互补。如图1所示，与互为邻补角，

与互为邻补角。+=180°；+=180°；+=180°；

+=180°。

4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角。对顶角的性质：对顶角相等。如图1所示，与互为对顶角。

5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是直角或90°时，称这两条直线互相垂直，

其中一条叫做另一条的垂线。如图2所示，当=90°时，⊥。

垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

性质3：如图2所示，当a⊥b时，====90°。

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。

6、同位角、内错角、同旁内角基本特征：

①在两条直线(被截线)的同一方，都在第三条直线(截线)的同一侧，这样

的两个角叫同位角。图3中，共有对同位角：与是同位角；

与是同位角；与是同位角；与是同位角。

②在两条直线(被截线)之间，并且在第三条直线(截线)的两侧，这样的两个角叫内错角。图3中，共有对内错角：与是内错角；与是内错角。

③在两条直线(被截线)的之间，都在第三条直线(截线)的同一旁，这样的两个角叫同旁内角。图3中，共有对同旁内角：与是同旁内角；与是同旁内角。

7、平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

平行线的性质：

性质1：两直线平行，同位角相等。如图4所示，如果a∥b，则=。

性质2：两直线平行，内错角相等。如图4所示，如果a∥b，则=。

性质3：两直线平行，同旁内角互补。如图4所示，如果a∥b，则+=180°；+=180°。

性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果a∥b，a∥c，则∥。

8、平行线的判定：

判定1：同位角相等，两直线平行。如图5所示，如果=

或=或=或=，则a∥b。

判定2：内错角相等，两直线平行。如图5所示，如果=或=，则a∥b。

判定3：同旁内角互补，两直线平行。如图5所示，如果+=180°；+=180°，则a∥b。

判定4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果a∥b，a∥c，则∥。

9、判断一件事情的语句叫命题。命题由题设和结论两部分组成，有真命题和假命题之分。如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题；如果题设成立，那么结论不一定成立，这样的命题叫假命题。真命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫定理，它可以作为继续推理的依据。

10、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。

平移后，新图形与原图形的形状和大小完全相同。平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。

平移性质：平移前后两个图形中①对应点的连线平行且相等；②对应线段相等；③对应角相等。

实数

【知识点一】实数的分类

1、按定义分类：

2、按性质符号分类：

注：0既不是正数也不是负数。

【知识点二】实数的相关概念

1、相反数

(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数。0的相反数是0。

(2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称。

(3)互为相反数的两个数之和等于0。a、b互为相反数a+b=0。

2、绝对值|a|≥0。

3、倒数(1)0没有倒数(2)乘积是1的两个数互为倒数。a、b互为倒数。

4、平方根

(1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。a(a≥0)的平方根记作。

(2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。a(a≥0)的算术平方根记作。

5。立方根

如果x3=a，那么x叫做a的立方根。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

【知识点三】实数与数轴

数轴定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可。

【知识点四】实数大小的比较

1、对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大。

2、正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小。

3、无理数的比较大小：

【知识点五】实数的运算

1、加法

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。

2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3、乘法

几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负。几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。

4、除法

除以一个数，等于乘上这个数的倒数。两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数都得0。

5、乘方与开方

(1)an所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。

(2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方。

(3)零指数与负指数

【知识点六】有效数字和科学记数法

1、有效数字：

一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字。

2、科学记数法：

把一个数用(1≤<10，n为整数)的形式记数的方法叫科学记数法。

平面直角坐标系

一、知识网络结构

二、知识要点

1、有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做(a，b)。

2、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

3、横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

4、坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a，b分别叫点P的横坐标和纵坐标，记作P(a，b)。

5、象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向依次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。

6、各象限点的坐标特点①第一象限的点：横坐标0，纵坐标0；②第二象限的点：横坐标0，纵坐标0；③第三象限的点：横坐标0，纵坐标0；④第四象限的点：横坐标0，纵坐标0。

7、坐标轴上点的坐标特点①x轴正半轴上的点：横坐标0，纵坐标0；②x轴负半轴上的点：横坐标0，纵坐标0；③y轴正半轴上的点：横坐标0，纵坐标0；④y轴负半轴上的点：横坐

标0，纵坐标0；⑤坐标原点：横坐标0，纵坐标0。(填“>”、“<”或“=”)

8、点P(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|。

9、对称点的坐标特点①关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；③关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数。

10、点P(2，3)到x轴的距离是；到y轴的距离是；点P(2，3)关于x轴对称的点坐标为(，)；点P(2，3)关于y轴对称的点坐标为(，)。

11、如果两个点的横坐标相同，则过这两点的直线与y轴平行、与x轴垂直；如果两点的纵坐标相同，则过这两点的直线与x轴平行、与y轴垂直。如果点P(2，3)、Q(2，6)，这两点横坐标相同，则PQ∥y轴，PQ⊥x轴；如果点P(-1，2)、Q(4，2)，这两点纵坐标相同，则PQ∥x轴，PQ⊥y轴。

12、平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同；在一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相同；在二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。如果点P(a，b)在一、三象限角平分线上，则P点的横坐标与纵坐标相同，即a=b；如果点P(a，b)在二、四象限角平分线上，则P点的横坐标与纵坐标互为相反数，即a=-b。

13、表示一个点(或物体)的位置的方法：一是准确恰当地建立平面直角坐标系；二是正确写出物体或某地所在的点的坐标。选择的坐标原点不同，建立的平面直角坐标系也不同，得到的同一个点的坐标也不同。

14、图形的平移可以转化为点的平移。坐标平移规律：①左右平移时，横坐标进行加减，纵坐标不变；②上下平移时，横坐标不变，纵坐标进行加减；③坐标进行加减时，按“左减右加、上加下减”的规律进行。如将点P(2，3)向左平移2个单位后得到的点的坐标为(，)；将点P(2，3)向右平移2个单位后得到的点的坐标为(，)；将点P(2，3)向上平移2个单位后得到的点的坐标为(，)；将点P(2，3)向下平移2个单位后得到的点的坐标为(，)；将点P(2，3)先向左平移3个单位后再向上平移5个单位后得到的点的坐标为(，)；将点P(2，3)先向左平移3个单位后再向下平移5个单位后得到的点的坐标为(，)；将点P(2，3)先向右平移3个单位后再向上平移5个单位后得到的点的坐标为(，)；将点P(2，3)先向右平移3个单位后再向下平移5个单位后得到的点的坐标为(，)。

二元一次方程组

一、知识网络结构

二、知识要点

1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。

2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫二元一次方程，二元一次方程的一般形式为(为常数，并且)。使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解，一个二元一次方程一般有无数组解。

3、方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组。使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。

4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。

5、用加减法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数；(3)解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；(4)将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，从而得到原方程组的解。

6、解三元一次方程组的一般步骤：①观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数；②利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组；③解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中，求出第三个未知数的值，从而得到原三元一次方程组的解。

不等式与不等式组

一、知识网络结构

二、知识要点

1、用不等号表示不等关系的式子叫不等式，不等号主要包括：>、<、≥、≤、≠。

2、在含有未知数的不等式中，使不等式成立的未知数的值叫不等式的解，一个含有未知数的不等式的所有的解组成的集合，叫这个不等式的解集。不等式的解集可以在数轴上表示出来。求不等式的解集的过程叫解不等式。含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的不等式叫一元一次不等式。

3、不等式的性质：

①性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。

用字母表示为：如果，那么；如果，那么；

如果，那么；如果，那么。

②性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

用字母表示为：如果，那么(或)；如果，那么(或)；

如果，那么(或)；如果，那么(或)；

③性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

用字母表示为：如果，那么(或)；如果，那么(或)；

如果，那么(或)；如果，那么(或)；

4、解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。这与解一元一次方程类似，在解时要根据一元一次不等式的具体情况灵活选择步骤。

5、不等式组中含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的不等式组叫一元一次不等式组。使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解，一个不等式组的所有的解组成的集合，叫这个不等式组的解集解(简称不等式组的解)。不等式组的解集可以在数轴上表示出来。求不等式组的解集的过程叫解不等式组。

6、解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式组的解集。如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解(此时也称这个不等式组的解集为空集)。

7、求出各个不等式的解集后，确定不等式组的解的口诀：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。

数据的收集、整理与描述

知识要点

1、对数据进行处理的一般过程：收集数据、整理数据、描述数据、分析得出结论。

2、数据收集过程中，调查的方法通常有两种：全面调查和抽样调查。

3、除了文字叙述、列表、划记法外，还可以用条形图、折线图、扇形图、直方图来描述数据。

4、抽样调查简称抽查，它只抽取一部分对象进行调查，根据调查数据推断全体对象的情况。要考察的全体对象叫总体，组成总体的每一个考察对象叫个体，被抽取的那部分个体组成总体的一个样本，样本中个体的数目叫这个样本的容量。

5、画频数直方图的步骤：①计算数差(最大值与最小值的差)；②确定组距和组数；③列频数分布表；④画频数直方图。

5华师版七年级下册数学知识点总结

一、基本概念

（一）方程的变形法则

法则1：方程两边都或同一个数或同一个，方程的解不变。

例如：在方程7-3x=4左右两边都减去7，得到新方程：-3x+3=4-7。

在方程6x=-2x-6左右两边都加上4x，得到新方程：8x=-6。

移项：将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移动到另一边，这样的变形叫做移项，注意移项要变号。

例如：(1)将方程x－5＝7移项得：x＝7+5即x＝12

(2)将方程4x＝3x－4移项得：4x－3x＝－4即x＝－4

法则2：方程两边都除以或同一个的数，方程的解不变。

例如：(1)将方程－5x＝2两边都除以-5得：x=-25

2231(2)＝两边都乘以得：x=2339

这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。

注意：

（1）如遇未知数的系数为整数，“系数化为1”时，就要除以这个整数；如遇到未知数的系数为分数，“系数化为1”时，就要乘以这个分数的倒数。

（2）不论上一乘以或除以数时，都要注意结果的符号。

方程的解的概念：能够使方程左右两边都相等的未知数的值，叫做方程的解。

求不方程的解的过程，叫做解方程。

（二）一元一次方程的概念及其解法

1．定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是，未知数的次数是，这样的方程叫做一元一次方程。

例如：方程7-3x=4、6x=-2x-6都是一元一次方程。

12而这些方程5x－3x+1＝0、2x+y＝l－3y、＝5就不是一元一次方程。x-1

2．一元一次方程的一般式为：ax+b=0（其中a、b为常数，且a≠0）

一元一次方程的一般式为：ax=b（其中a、b为常数，且a≠0）

3．解一元一次方程的一般步骤

步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。

注意：（1）方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。

（2）“去分母”指去掉方程两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分母后，注意添括号。去分母时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数（即公分母）

（三）一元一次方程的应用

1．纯数学上的应用：（1）一元一次方程定义的应用；（2）方程解的概念的应用；（3）代数中的应用；（4）公式变形等。

2．实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）面积问题等。

3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。

第七章二元一次方程组

一、基本概念

（一）二元一次方程组的有关概念

1、二元一次方程的定义：都含有个未知数，并且的次数都是1，像这样的整式方程，叫做二元一次方程。

一般形式为：ax+by=c（a、b、c为常数，且a、b均不为0）

结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的理解；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。

例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7b、2m+3n=0、1-s+t=2s等都是二元一次方程。

而6x=-2y-6、4x+8y=-6z、22=n等都不是二元一次方程。

2、二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

注意：（1）只要两个方程一共含有两个未知数，也是二元一次方程组。

也是二元一次方程组。

3、二元一次方程和二元一次方程组的解

（1）二元一次方程的解：能够使二元一次方程的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

（2）二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。（即是两个方程的公共解）

注意：写二元一次方程或二元一次方程组的解时要用“联立”符号“？”把方程中两个未知数的值连接起来写。

二元方程解的写法的标准形式是：

（二）二元一次方程组的解法

1、解二元一次方程组的基本思想：“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程来解。

2、二元一次方程组的基本解法

（1）代入消元法（代入法）

定义：通过“代人”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的这种解法叫做代人消元法，简称代入法。

步骤：①选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程③。

②把③代人另一个方程，得一元一次方程。

③解这个一元一次方程，得一个未知数的值。

④把这个未知数的值代人③，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。

（2）加减消元法（加减法）

定义：通过将两个方程相加(或相减)，消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫加减消元法，简称加减法。

步骤：①把两个方程同一个未知数的系数乘以适当的倍数，使得这两个未知数的绝对值相同。

？x？a，（其中a、b为常数）？y？b

②把未知数的绝对值相同的两个方程相加或相减，得一元一次方程。

③解这个一元一次方程，得一个未知数的值。

④把这个未知数的值代人原方程组中系数叫简单的一个方程，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。

注意：正确选用两种基本解二元一次方程组

（1）若二元一次方程组中有一个未知数系数的绝对值为1，适宜用“代入法”。

（2）用加减法解二元一次方程组，两方程中若有一个未知数系数的绝对值相等，可直接加减消元；若同一未知数的系数绝对值不等，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，然后再直接用加减法求解；若方程组比较复杂，应先化简整理。

（三）二元一次方程组的应用

1、纯数学上的应用：（1）二元一次方程定义的应用；（2）方程解的概念的应用；（3）代数中的应用；（4）公式变形等。

2、实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）面积问题等。

3、探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。

注意事项：

(1)在实际问题中，常会遇到有多个未知量的问题，和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，要学会将实际问题转化为二元一次方程组，从而解决一些简单的实际问题。

(2)二元一次方程组的解法很多，但它的基本思想都是通过消元，转化为一元一次方程来解的，最常见的消元方法有代人法和加减法。一个方程组用什么方程来逐步消元，转化应根据它的特点灵活选定。

(3)通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和正确作答，检验不仅要检查求得的解是否适合方程组的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求。

第8章一元一次不等式

一、基本概念

（一）不等式的有关概念和性质解一元一次不等式的一般步骤

步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。

注意：（1）不等式中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去

括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。

（2）“去分母”指去掉不等式两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉

分母后，注意添括号。去分母时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数（即公分母）。不等式的解法与解一元一次方程类似，完全可以把解一元一次方程的思想照搬过来。

（三）一元一次不等式组

1、一元一次不等式组的定义：几个一元一次不等式合起来就组成一元一次不等式组

与二元一次方程组不同的是，这里的“几个”可以两个，也可以三个，或更多个。

2、一元一次不等式组的解集：不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的

解集。

3、一元一次不等式组的解集的确定规律

同“大”取大，同“小”取小，“大”小“小”大中间找，“大”大“小”小无解了

4、一元一次不等式组的解法

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

一般步骤：

（1）分别解不等式组中的每个不等式；

（2）把每个不等式组的解集在数轴上表示出来；

（3）找出各个不等式解集的公共部分；

（4）再结合不等式组解集的确定规律，写出不等式组的解集。

（四）一元一次不等式（组）的应用

1、纯数学上的应用：（1）一元一次不等式定义的应用；（2）不等式解集的概念的应用；（3）代

数中的应用；

2、实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）决

策问题等。

3、探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。

第九章多边形

一、基本概念

（一）三角形有关概念

1、三角形定义：三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三

条线段就是三角形的边。

三角形专用符号：“△”A（顶点）

2、三角形的顶点、边组成三角形的线段如图中的AB、BC、AC是这个三角形的三边，

两边的公共点叫三角形的顶点。(如点A等)三角形顶点只能用大写字

母表示，整个三角形表示为△ABC。

3、三角形的内角，外角的概念：

（1）内角：每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠BAC等。每个三角形有三个内角。

（2）外角：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角

叫做三角形的外角，如下图中∠ACD是∠ABC的一个外角，A它与内角∠ACB相邻。例如右图中∠ACD是∠ABC的一个外角，它与内角∠ACB相邻。B与△ABC的内角∠ACB相邻的外角有几个？它们之间有什么关系？

一个三角形共有几个外角？

4、三角形的分类

是锐角）锐角三角形（三个角都是直角）（1）三角形按角分类可分为：直角三角形（有一个角

钝角三角形（有一个角是钝角）

各类三角形的定义

锐角三角形：所有内角都是锐角的三角形叫锐角三角形；

直角三角形：有一个内角是直角的三角形叫直角三角形；

钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形叫钝角三角形。

都不相等）（又称斜三角形）不等边三角形（三条边角形（只两边等）腰和底不相等的等腰三（2）三角形按边分类可分为：等腰三角形（等边三角形）腰和底相等的等腰三角。

各类三角形的定义

不等边三角形：三边互不相等的三角形叫做不等边三角形；

等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的腰。等边三角形；三条边都相等的三角形叫等边三角形(或正三角形)。

5．三角形的中线、角平分线、高（记住这重要的三线）

三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线。

三角形的角平分线：三角形内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的角平分线。

三角形的高：过三角形顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫三角形的高。

注意：

(1)一个三角形中三条中线(高、角平分线)之间的位置关系怎样？

[三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点]

(2)一个三角形的三条中线(角平分线)的交点与三角形有怎样的位置关系？

[三条中线(角平分线)相交于一点，这一点在三角形内部]

(3)直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系？钝角三角形呢？

（直角三角形有一条高在三角形内部，另外两条就是直角三角形的两条直角边，三条高的交点就是直角三角形的直角顶点，钝角三角形有一条高在形内，两条高在形外，三条高所在的直线的交点在形外。）

(4)以上三线都是线段。

（二）三角形外角的性质以及其外角的和

1．三角形外角的性质：

(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。A如图：D是△ABC边BC上一点，则有∠ADC＝∠DAB+∠ABD；

∠ADC>∠DAB，∠ADC>∠ABD问：∠ADB＝∠()+∠()

2．三角形外角的和。

三角形的外角与和它相邻内角有什么关系？(互补)

（1）三角形外角和的定义：与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相等的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和。

（2）三角形外角和定理：三角形的外角和是360°

（三）三角形的三边关系

1．三角形三边不等关系定理：三角形的任何两边的和大于第三边。

三角形的任何两边的差小于第三边。

即三角形第三边的取值范围是：

|任何两边的差|＜第三边＜任何两边的和

以上定理主要用语判断给出一定长度的线段能否构成三角形和求第三边的取值范围。

2．三角形具有稳定性

这就是说三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了。三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。四边形就不具有这个性质。

（四）多边形的内角和与外角和

1．多边形及其相关概念

定义：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n边形，又称多边形。

一个n边形有n个内角，有2n个外角。

如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。

对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条，这(n-3)条对角线把n边形分成（n-2）个三角形。

从n边形的所有顶点引对角线的总条数为：

2．多边形的内角和公式

n边形的内角和＝(n-2)·180°

3．多边形的外角和。

（1）多边形的外角和定义：从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和。

（2）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°。

多边形的外角和与多边形的边数无关。

（五）用正多边形拼地板

n(n3)条。2对应角，图形的与都没有发生变化，即平移前后的两个图形连结每对对应点所得的线段(或在同一直线上)且。

三、旋转

图形的旋转：把一个图形绕一个沿某个旋转一定的变换，叫做，这个定点叫做。

图形的旋转由、和所决定。

注意：

①旋转在旋转过程中保持不动．

②旋转分为时针

和时针。

③旋转一般小于360°。

旋转的特征：图形中每一点都绕着旋转了的角度，对应点到旋转中心的相等，对应线段，对应角，图形的和都没有发生变化，也就是旋转前后的两个图形。

旋转对称图形：若一个图形绕一定点旋转一定角度(不超过180°)后，能与重合，这种图形就叫。

四、中心对称

中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转°后，如果能够与重合，那么这个图形叫做图形，这个点就是它的。

成中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转°后，如果它能够与重合那么就说这两个图形关于这个点成，这个点叫做。

这两个图形中的对应点叫做关于中心的。

中心对称的性质：关于中心对称的图形，对应点所连线段都经过，而且被对称中心。(中心对称是旋转对称的特殊情况)。

中心对称点的作法——连结和，并延长一倍。

对称中心的求法——

方法①：连结一对对应点，再求其；

方法②：连结两对对应点，找他们的。

五、图形的全等

1。全等图形定义：能够完全的两个图形叫做全等图形。

2。图形变换与全等：一个图形经翻折、平移、旋转变换所得到的新图形与全等；全等的两个图形经过上述变换后一定能够。

3。全等多边形：

⑴有关概念：对应顶点、对应边、对应角等。

⑵性质：全等多边形的、相等；

⑶判定：、分别对应相等的两个多边形全等。

4。全等三角形：

⑴性质：全等三角形的、相等；

⑵判定：分别对应相等的两个三角形全等。

6七年级数学下册期末知识点总结（苏教版）

一、知识点：

1、“三线八角”

①如何由线找角：一看线，二看型。

同位角是“F”型；

内错角是“Z”型；

同旁内角是“U”型。

②如何由角找线：组成角的三条线中的公共直线就是截线。

2、平行公理：

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。

简述：平行于同一条直线的两条直线平行。

补充定理：

如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也平行。

简述：垂直于同一条直线的两条直线平行。

3、平行线的判定和性质：

判定定理性质定理

条件结论条件结论

同位角相等两直线平行两直线平行同位角相等

内错角相等两直线平行两直线平行内错角相等

同旁内角互补两直线平行两直线平行同旁内角互补

4、图形平移的性质：

图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行（或在同一直线上）并且相等。

5、三角形三边之间的关系：

三角形的任意两边之和大于第三边；

三角形的任意两边之差小于第三边。

若三角形的三边分别为a、b、c。

6、三角形中的主要线段：

三角形的高、角平分线、中线。

注意：①三角形的高、角平分线、中线都是线段。

②高、角平分线、中线的应用。

7、三角形的内角和：

三角形的3个内角的和等于180°；

直角三角形的两个锐角互余；

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。

8、多边形的内角和：

n边形的内角和等于（n-2）R26;180°；

任意多边形的外角和等于360°。

第八章幂的运算

幂（power）指乘方运算的结果。an指将a自乘n次(n个a相乘）。把an看作乘方的结果，叫做a的n次幂。

对于任意底数a，b，当ｍ，ｎ为正整数时，有

aｍR26;an=am+n(同底数幂相乘，底数不变，指数相加)

aｍ÷an=am-n(同底数幂相除，底数不变，指数相减)

(aｍ)n=amn(幂的乘方，底数不变，指数相乘)

(ab)n=anan(积的乘方，把积的每一个因式乘方，再把所得的幂相乘)

a0=1(a≠0)(任何不等于0的数的0次幂等于1)

a-n=1/an(a≠0)(任何不等于0的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数)

科学记数法：把一个绝对值大于10(或者小于1)的整数记为a×10n的形式(其中1≤|a|＜10)，这种记数法叫做科学记数法。

复习知识点：

1、乘方的概念

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，a叫做底数，n叫做指数。

2、乘方的性质

（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。

（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

第九章整式的乘法与因式分解

一、整式乘除法

单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。ac5;bc2=(a;b)6;(c5;c2)=abc5+2=abc7注：运算顺序先乘方，后乘除，最后加减单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，m(a+b+c)=ma+mb+mc注：不重不漏，按照顺序，注意常数项、负号。本质是乘法分配律。

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相乘(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

乘法公式：平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。(a+b)(a-b)=a2-b2

完全平方公式：两数和[或差]的平方，等于它们的平方和，加[或减]它们积的2倍。(a±b)2=a2±2ab+b2

因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式，也叫做把这个多项式分解因式。

因式分解方法：

1、提公因式法。关键：找出公因式

公因式三部分：①系数(数字)一各项系数最大公约数；②字母--各项含有的相同字母；③指数--相同字母的最低次数；步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项。

注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．

2、公式法。①a2-b2=(a+b)(a-b)两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积a、b可以是数也可是式子②a2±2ab+b2=(a±b)2完全平方两个数平方和加上或减去这两个数的积的2倍，等于这两个数的和[或差]的平方。

③x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)立方差公式

3、十字相乘(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq

因式分解三要素：

（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式；

（2）因式分解必须是恒等变形；

（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。

弄清因式分解与整式乘法的内在的关系：互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差添括号法则：如括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如括号前是负号各项都得改符号。用去括号法则验证。

第十章二元一次方程组

1、含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程(linear equations of two unknowns)。

2、含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组。

3、二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。

4、代入消元法：把二元一次方程中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再带入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

5、加减消元法：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。

6、二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；

（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；

（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。

第十一章一元一次不等式

一元一次不等式

重点：不等式的性质和一元一次不等式的解法。

难点：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。

知识点一：不等式的概念

1、不等式：

用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式。用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。

要点诠释：

(1)不等号的类型：

①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；

(2)要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

2、不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

要点诠释：

由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。

3、不等式的解集：

一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。如：不等式x－4＜1的解集是x＜5。不等式的解集与不等式的解的区别：解集是能使不等式成立的未知数的取值范围，是所有解的集合，而不等式的解是使不等式成立的未知数的值。二者的关系是：解集包括解，所有的解组成了解集。

要点诠释：

不等式的解集必须符合两个条件：

(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；

(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。

知识点二：不等式的基本性质

基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。

符号语言表示为：如果，那么。

基本性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。

基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

符号语言表示为：如果，并且，那么（或）

要点诠释：

(1)不等式的基本性质1的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握；

(2)要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多项式；

(3)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”；

(4)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘(除)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。

知识点三：一元一次不等式的概念

只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0。这样的不等式，叫做一元一次不等式。

要点诠释：

(1)一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解：

①左右两边都是整式(单项式或多项式)；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数为1。

(2)一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1，左右两边都是整式；不同点：一元一次不等式表示不等关系(用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接)，一元一次方程表示相等关系(用“＝”连接)。

知识点四：一元一次不等式的解法

1。解不等式：

求不等式解的过程叫做解不等式。

2。一元一次不等式的解法：

与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步骤为：

(1)去分母；

(2)去括号；

(3)移项；

(4)合并同类项；

(5)系数化为1。

要点诠释：

（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用

（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。

3。不等式的解集在数轴上表示：

在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助。

要点诠释：

在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：

（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；

（2）方向：大向右，小向左

规律方法指导（包括对本部分主要题型、思想、方法的总结）

1、不等式的基本性质是解不等式的主要依据。（性质2、3要倍加小心）

2、检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式是否成立，若成立，就是不等式的解；若不成立，则就不是不等式的解。

3、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原不等式变为或的形式，其一般步骤是：

（1）去分母；

（2）去括号；

（3）移项；

（4）合并同类项；

（5）化未知数的系数为1。这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。但要注意，去分母或化未知数的系数为1时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，如果是个正数，不等号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。

解一元一次不等式的一般步骤及注意事项：

变形名称具体做法注意事项；

去分母在不等式两边同乘以分母的最小公倍数。

（1）不含分母的项不能漏乘；

（2）注意分数线有括号作用，去掉分母后，如分子是多项式，要加括号；

（3）不等式两边同乘以的数是个负数，不等号方向改变。去括号根据题意，由内而外或由外而内去括号均可；

（4）运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项；

（5）如果括号前是“—”号，去括号时，括号内的各项要变号。

移项把含未知数的项都移到不等式的一边（通常是左边），不含未知数的项移到不等式的另一边移项（过桥）变号

合并同类项把不等式两边的同类项分别合并，把不等式化为或的形式合并同类项只是将同类项的系数相加，字母及字母的指数不变。

系数化1在不等式两边同除以未知数的系数，若且，则不等式的解集为；若且，则不等式的解集为；若且，则不等式的解集为；若且，则不等式的解集为；

（1）分子、分母不能颠倒。

（2）不等号改不改变由系数的正负性决定。

（3）计算顺序：先算数值后定符号。

4、将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，是数学中数形结合思想的重要体现，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实。

5、用一元一次不等式解答实际问题，关键在于寻找问题中的不等关系，从而列出不等式并求出不等式的解集，最后解决实际问题。

6、常见不等式的基本语言的意义：

（1），则x是正数；（2），则x是负数；

（3），则x是非正数；（4），则x是非负数；

（5），则x大于y；（6），则x小于y；

（7），则x不小于y；（8），则x不大于y；

（9）或，则x，y同号；（10）或，则x，y异号；

（11）x，y都是正数，若，则；若，则；

（12）x，y都是负数，若，则；若，则；

第十二章证明

教学目标：

1、掌握定义、命题、定理、逆命题、互逆命题等概念，知道一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。

2、基本事实是其真实性不加证明的真命题，弄清真命题与定理的区别。

3、会用举反例说明一个命题是假命题；掌握三角形内角和定理的证明。

重点：定义、命题、定理、逆命题、互逆命题等概念的理解与运用。

难点：会用举反例说明一个命题是假命题；掌握三角形内角和定理的证明。

内容：

1、以基本事实：“同位角相等，两直线平行”证明：(1)“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”、“平行于同一条直线的两条直线平行”

2、基本事实：“过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，“两直线平行，同位角相等”。

证明：

（1）两只相平行，内错角相等；

（2）两只相平行，同旁内角互补；

（3）三角形内角和定理；

（4）直角三角形的两个锐角互余；

（5）有两个锐角互余的三角形是直角三角形；

（6）三角形的外角等于与它不相邻的两个外角的。