北师大版九年级上册数学书习题1.8答案

1习题1.8第1题答案

答案：对角线相等的菱形是正方形.

已知：如下图所示，四边形ABCD是菱形，AC,BD是对角线，且AC=DC

求证：四边形ABCD是正方形

证明：∵四边形ABCD是菱形

∴AD=BC

又∵AB=BA,BD=AC

∴△ABD≌△BAC（SSS）

∴∠DAB=∠CBA

又∵AD//bc

∴∠dab+∠cba=180°

∴∠DAB=∠CBA=90°

∴四边形ABCD是正方形

2习题1.8第2题答案

证明：∵四边形ABCD是正方形

∴AD=CB,AD//CB

∴∠ADF=∠CBE

在△ADF和=∠CBE中

∴△ADF≌△CBE（SAS）

∴AF=CF,∠AFD=∠CEB

∵∠AFD+∠AFE=180°，∠CEB+∠CEF=180°

∴∠AFE=∠CEF（等角的补角相等）

∴AF//CE（内错角相等，两直线平行）

∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

∵AD=AB

∴∠ADF=∠ABE

在△AFD和AEB中

∴△AFD≌△AEB（SAS）

∴AF=AE

∴四边形AECF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）

3习题1.8第3题答案

解：四边形EFGH是正方形

在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90°

因为AE=BF=CG=DH,所以AB-AE=BC-BF=CD-CG=AD-DH

即BE=CF=DG=AH

所以△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）

所以∠AEH,HE=EF=FG=GH.所以四边形EFGH是菱形

因为∠AEH+∠AHE=90°

所以∠DHG+∠AHE=90°

所以∠EHG=90°

所以菱形EFGH是正方形.

4习题1.8第4题答案

解：重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的1/4

证明如下：重叠部分为等腰直角三角形时，重叠部分为面积为正方形ABCD面积的1/4，即S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD= 1/4S正方形ABCD

重叠部分为四边形是，如下图所示：

设OA'与AB相交于点E,OC'与BC相交于点F

∵四边形ABCD是正方形

∴OA=OB,∠EAO=∠FBO=45°，AO⊥BD

又∵∠AOE=90°-∠EOB,∠BOF=90°-∠EOB

∴∠AOE=∠BOF

∴△AOE≌△BOF

∴S△AOE+S△BOE=S△BOE+S△BOE

∴S△AOB=S四边形EBFO

又∵S△AOB=1/4 S正方形EBFO

∴S四边形EBFO=1/4 S正方形ABCD